ly thuyet va bai tap hinh hoc 10 chuong 1 vecto tst

ly-thuyet-va-bai-tap-hinh-hoc-10-chuong-1-vecto-tst.pdf

Nội dung chia sẻ: ly thuyet va bai tap hinh hoc 10 chuong 1 vecto tst

Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ Trang 1 1. Các định nghĩa • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB  . • Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB  . • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0  . • Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. • Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b, ,. để biểu diễn vectơ. + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Mọi vectơ 0  đều bằng nhau. 2. Các phép toán trên vectơ a) Tổng của hai vectơ • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC+ =    . • Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC+ =    . • Tính chất: a b b a+ = +     ; ( ) ( )a b c a b c+ + = + +     ; a a0+ =  b) Hiệu của hai vectơ • Vectơ đối của a là vectơ b  sao cho a b 0+ =    . Kí hiệu vectơ đối của a là a− . • Vectơ đối của 0  là 0  . • ( )a b a b− = + −   . • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB− =    . c) Tích của một vectơ với một số • Cho vectơ a và số k ∈ R. ka là một vectơ được xác định như sau: + ka  cùng hướng với a nếu k ≥ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. + ka k a.=  . • Tính chất: ( )k a b ka kb+ = +   ; k l a ka la( )+ = +   ; ( )k la kl a( )=  ka 0=   ⇔ k = 0 hoặc a 0=   . • Điều kiện để hai vectơ cùng phương: ( )a vaø b a cuøng phöông k R b ka0 :≠ ⇔ ∃ ∈ =     • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: AB kAC=   . • Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương a b,   và x tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: x ma nb= +   . Chú ý: • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA MB 0+ =    ⇔ OA OB OM2+ =    (O tuỳ ý). • Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA GB GC 0+ + =     ⇔ OA OB OC OG3+ + =     (O tuỳ ý). CHƯƠNG I VECTƠ I. VECTƠ Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Trang 2 VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? Baøi 2. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. a) Chứng minh: BC C A A B′ ′ ′ ′= =    . b) Tìm các vectơ bằng B C C A,′ ′ ′ ′   . Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh: MP QN MQ PN;= =     . Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh: a) AC BA AD AB AD AC;− = + =      . b) Nếu AB AD CB CD+ = −     thì ABCD là hình chữ nhật. Baøi 5. Cho hai véc tơ a b,   . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a b a b+ = −     . Baøi 6. Cho ∆ABC đều cạnh a. Tính AB AC AB AC;+ −     . Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AC AD+ +    . Baøi 8. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA HB HC, ,    . Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB AD+   , AB AC+   , AB AD−   . Baøi 10. a) VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. – Tính chất của các hình. Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: a) AB DC AC DB+ = +     b) AD BE CF AE BF CD+ + = + +       . Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: a) Nếu AB CD=   thì AC BD=   b) AC BD AD BC IJ2+ = + =      . c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA GB GC GD 0+ + + =      . d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm. Baøi 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: AB AI JA DA DB2( ) 3+ + + =      . Baøi 4. Cho ∆ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: RJ IQ PS 0+ + =     . Baøi 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM. a) Chứng minh: IA IB IC2 0+ + =     . b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA OB OC OI2 4+ + =     . Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ Trang 3 Baøi 6. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: a) AH OM2=   b) HA HB HC HO2+ + =     c) OA OB OC OH+ + =     . Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′. a) Chứng minh AA BB CC GG3′ ′ ′ ′+ + =     . b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Baøi 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: AM AB AC 1 2 3 3 = +    . Baøi 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho CN NA2=   . K là trung điểm của MN. Chứng minh: a) AK AB AC1 1 4 6 = +    b) KD AB AC1 1 4 3 = +    . Baøi 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: a) AM OB OA1 2 = −    b) BN OC OB1 2 = −    c) ( )MN OC OB1 2 = −    . Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: a) AB CM BN2 4 3 3 = − −    c) AC CM BN4 2 3 3 = − −    c) MN BN CM1 1 3 3 = −    . Baøi 12. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. a) Chứng minh: AH AC AB2 1 3 3 = −    và ( )CH AB AC1 3 = − +    . b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH AC AB1 5 6 6 = −    . Baøi 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b,= =     . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI AG,   theo a b,   . Baøi 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC vaø BD   theo các vectơ AB vaø AF   . Baøi 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ AM  theo các vectơ OA OB OC, ,    . Baøi 16. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MB MC NA CN PA PB3 , 3 , 0= = + =        . a) Tính PM PN,   theo AB AC,   b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. Baøi 17. Cho ∆ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. a) Chứng minh: AA BB CC1 1 1 0+ + =     b) Đặt BB u CC v1 1,= =     . Tính BC CA AB, ,    theo u vaø v  . Baøi 18. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. a) Tính AI AF theo AB vaø AC,     . b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính AG theo AI vaø AF    . Baøi 19. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B. a) Chứng minh: HA HB HC5 0− + =     . b) Đặt AG a AH b,= =     . Tính AB AC,   theo a vaø b   . Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Trang 4 VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a=   , trong đó O và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. – Hình bình hành. – Trung điểm của đoạn thẳng. – Trọng tâm tam giác, … Baøi 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0− + =     . Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI. a) Chứng minh: BN BA MB− =    . b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI ND NM BN NC;+ = − =       . Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD. a) Chứng minh rằng: AB AC AD AC2+ + =     . b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM AB AC AD3 = + +     . Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. a) Chứng minh: MN AB DC1 ( ) 2 = +    . b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0+ + + =      . Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA SB SC SD SO4+ + + =      . Baøi 6. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: a) IB IC2 3 0+ =    b) JA JC JB CA2 + − =     c) KA KB KC BC2+ + =     d) LA LB LC3 2 0− + =     . Baøi 7. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: a) IA IB BC2 3 3− =    b) JA JB JC2 0+ + =     c) KA KB KC BC+ − =     d) LA LC AB AC2 2− = −     . Baøi 8. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau: a) IA IB IC BC+ − =    b) FA FB FC AB AC+ + = +      c) KA KB KC3 0+ + =     d) LA LB LC3 2 0− + =     . Baøi 9. Cho.

truyện kiếm hiệp audio