Tuyển chọn các bài toán hay về hình học phẳng có lời giải hướng dẫn

M P Q O A B D C 2 Lời nói đầu Các kì thi HSG tỉnh và thành phố nhằm chọn ra đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia trong năm học 2010 – 2011 đã diễn ra sôi nổi vào những ngày cuối năm trước và đã để lại nhiều ấn tượng sâu sắc. Bên cạnh những bất đẳng thức, những hệ phương trình hay những bài toán số học, tổ hợp, ta không thể quên được dạng toán vô cùng quen thuộc, vô cùng thú vị và cũng xuất hiện thường trực hơn cả, đó chính là những bài toán hình học phẳng. Nhìn xuyên suốt qua các bài toán ấy, ta sẽ phát hiện ra sự xuất hiện của những đường tròn, những tam giác, tứ giác; cùng với những sự kết hợp đặc biệt, chúng đã tạo ra nhiều vấn đề thật đẹp và thật hấp dẫn. Có nhiều bài phát biểu thật đơn giản nhưng ẩn chứa đằng sau đó là những quan hệ khó và chỉ có thể giải được nhờ những định lý, những kiến thức ở mức độ nâng cao như: định lý Euler, đường tròn mixtilinear, định lý Desargues, điểm Miquel,… Rồi cũng có những bài phát biểu thật dài, hình vẽ thì phức tạp.

Nội dung chia sẻ: Tuyển chọn các bài toán hay về hình học phẳng có lời giải hướng dẫn

M P Q O A B D C 2 Lời nói đầu Các kì thi HSG tỉnh và thành phố nhằm chọn ra đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia trong năm học 2010 – 2011 đã diễn ra sôi nổi vào những ngày cuối năm trước và đã để lại nhiều ấn tượng sâu sắc. Bên cạnh những bất đẳng thức, những hệ phương trình hay những bài toán số học, tổ hợp, ta không thể quên được dạng toán vô cùng quen thuộc, vô cùng thú vị và cũng xuất hiện thường trực hơn cả, đó chính là những bài toán hình học phẳng. Nhìn xuyên suốt qua các bài toán ấy, ta sẽ phát hiện ra sự xuất hiện của những đường tròn, những tam giác, tứ giác; cùng với những sự kết hợp đặc biệt, chúng đã tạo ra nhiều vấn đề thật đẹp và thật hấp dẫn. Có nhiều bài phát biểu thật đơn giản nhưng ẩn chứa đằng sau đó là những quan hệ khó và chỉ có thể giải được nhờ những định lý, những kiến thức ở mức độ nâng cao như: định lý Euler, đường tròn mixtilinear, định lý Desargues, điểm Miquel,… Rồi cũng có những bài phát biểu thật dài, hình vẽ thì phức tạp nhưng lại được giải quyết bằng một sự kết hợp ngắn gọn và khéo léo của những điều quen thuộc để tạo nên lời giải ấn tượng. Nhằm tạo cho các bạn yêu Toán có một tài liệu tham khảo đầy đủ và hoàn chỉnh về những nội dung này, chúng tôi đã dành thời gian để tập hợp các bài toán, trình bày lời giải thật chi tiết và sắp xếp chúng một cách tương đối theo mức độ dễ đến khó về lượng kiến thức cần dùng cũng như hướng tiếp cận. Với hơn 50 bài toán đa dạng về hình thức và phong phú về nội dung, mong rằng “Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2010 – 2011” sẽ giúp cho các bạn có dịp thưởng thức, cảm nhận, ngắm nhìn nhiều hơn nét đẹp cực kì quyến rũ của bộ môn này! Xin chân thành cảm ơn các tác giả đề bài, các thành viên của diễn đàn http://forum.mathscope.org đã gửi các đề toán và trình bày lời giải lên diễn đàn. Tài liệu với dung lượng lớn có thể còn nhiều thiếu sót, rất mong bạn đọc góp thêm ý kiến để tiếp tục hoàn thiện cuốn tài liệu này. Các ý kiến đóng góp xin gửi vào hai hòm thư lephuclu@gmail.com hoặc phan.duc.minh.93@gmail.com. Cảm ơn các bạn. Phan Đức Minh – Lê Phúc Lữ 3 Các kí hiệu và từ viết tắt sử dụng trong tài liệu ,ABC ABCDS S Diện tích tam giác ABC , tứ giác ABCD , ,a b c Độ dài các cạnh , ,BC CA AB của tam giác ABC p Nửa chu vi tam giác ,R r Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác  BC Đường tròn đường kính BC  /A OP Phương tích của điểm A đối với đường tròn  O , ,a b ch h h Độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh , ,a b c  ,d A l Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng l đpcm Điều phải chứng minh 4 Phần một: Đề bài Bài 1. Cho hình vuông ABCD . Trên đoạn BD lấy M không trùng với ,B D . Gọi ,E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh ,AB AD . Chứng minh rằng: 1. CM EF 2. , ,CM BF DE đồng quy. (Đề thi HSG Quảng Bình) Bài 2. Cho tam giác ABC có ACBC  . Gọi 21 , RR lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác GACGBC, , trong đó G là trọng tâm tam giác ABC . Hãy so sánh 21 , RR . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre, Bến Tre) Bài 3. Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng , ,AM BM CM cắt các cạnh , ,BC CA AB tại ', ', 'A B C theo thứ tự. Đặt 1 2 3 4 5 6, , , , ,SS S S S S lần lượt là diện tích các tam giác ' , ' ,MA B MA C ' , ' , ' , 'MB C MB A MC A MC B . Chứng minh rằng nếu 3 51 2 4 6 3S SS S S S    thì M là trọng tâm tam giác ABC (Đề thi HSG Đồng Tháp, vòng 2) Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp  O . Gọi MQP ,, lần lượt là giao điểm của AB và CD , AD và BC , AC và BD . Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQOMQOMP ,, bằng nhau. (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Bài 5. Cho tam giác ABC , điểm M thay đổi bên trong tam giác. DEF là tam giác pedal của M đối với tam giác ABC . Tìm vị trí của M để diện tích tam giác DEF lớn nhất. (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  ;O R . 2BH R là đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC . Gọi ,D E là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh ,AB BC . Chứng minh rằng: 1. BO DE 2. , ,D O E thẳng hàng. (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) 5 Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp, 1 1 1 1, , ,CA B D lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác , , ,BCD CDA DAB ABC . Chứng minh rằng 1 1 1 1A B C D là hình chữ nhật. (Đề thi HSG THPT chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) Bài 8. Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn   MAB MBC MCA    . Chứng minh rằng cot cot cot cotA B C    . (Đề thi HSG Quảng Ninh – bảng A) Bài 9. Cho tứ giác lồi ABCD có AB BC CD a   . Chứng minh rằng 23 3 4ABCD S a . (Đề thi HSG Bình Định) Bài 10. Cho tam giác ABC và ,M N là hai điểm di động trên BC sao cho MN BC   . Đường thẳng 1d đi qua M và vuông góc với AC , đường thẳng 2d đi qua N và vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của 1d và 2d . Chứng minh rằng trung điểm I của AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định. (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 2) Bài 11. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm chuyển động trên cạnh AB , N là điểm chuyển động trên cạnh AC . 1. Giả sử BM CN . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. 2. Giả sử 1 1 AM AN  không đổi. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. (Đề thi HSG Long An, vòng 2) Bài 12. Cho đường tròn tâm O , đường kính BC và XY là một dây cung vuông góc với BC . Lấy ,P M nằm trên đường thẳng XY và CY tuơng ứng, sao cho ||CY PB và ||CX MP . Gọi K là giao điểm của CX và BP . Chứng minh rằng MK BP . (Đề chọn đội tuyển THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định) Bài 13. Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp  I . Điểm M tùy ý trên  I . Gọi ad là đường thẳng đi qua trung điểm MA và vuông góc với BC . Các đường thẳng ,b cd d được xác định tương tự. Chứng minh rằng , ,a b cd d d đồng quy tại một điểm N . Tìm tập hợp điểm N khi M chuyển động trên  I . (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình) 6 Bài 14. Cho tam giác ABC , D là trung điểm cạnh BC và ,E Z là hình chiếu của D trên ,AB AC . Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại ,E Z với đường tròn đường kính AD . Chứng minh rằng TB TC . (Đề thi chọn đội tuyển Nam Định) Bài 15. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn  O có A cố định và ,B C thay đổi trên  O sao cho BC luôn song song với một đường thẳng cố định cho trước. Các tiếp tuyến của  O tại B và C cắt nhau tại K . Gọi M là trung điểm BC , N là giao điểm của AM với  O . Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định. (Đề thi chọn đội tuyển PTNK, ĐHKHTN TPHCM) Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A với ,A B cố định, điểm C di chuyển về một phía đối với đường thẳng AB . Gọi tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với ,AC BC lần lượt là ,M N . Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khi điểm C di động. (Đề thi HSG THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Bài 17. Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Đường phân giác trong của góc BAD cắt cạnh BC tại F và DC tại K . Từ đỉnh D kẻ DP AK  P AK . Đặt , 180 2DP m ADC    . Tính ABCDS theo m và  , biết rằng 1 15 KFC AFCD S S  . (Đề thi HSG Vĩnh Long, vòng 2) Bài 18. Cho tam giác ABC cân tại A . Đường phân giác trong của góc B cắt cạnh AC tại D . Biết rằng BC BD AD  . Hãy tính góc BAC . (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh) Bài 19. Cho tam giác ABC có góc A tù. Dựng các đường cao , ,AD BE CF ( , , , ,D E F BC CA AB tương ứng). ', 'E F là hình chiếu của ,E F lên BC . Giả sử 2 ' ' 2E F AD BC  . Hãy tính góc BAC . (Đề thi HSG Quảng Nam) Bài 20. Gọi IG, là trọng tâm, tâm nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua G và song song với BC cắt ACAB, theo thứ tự tại bc CB , . Các điểm abca BAAC ,,, được xác định tương tự. Các điểm cba III ,, theo thứ tự là tâm nội tiếp các tam giác ccbbaa BGAAGCCGB ,, . Chứng minh rằng cba CIBIAI ,, đồng quy tại một điểm trên GI . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) 7 Bài 21. Cho tam giác ABC nội tiếp  O , đường thẳng AO cắt  O lần thứ hai tại D . ,H K lần lượt là hình chiếu của ,B C lên AD ; hai đường thẳng ,BK CH cắt  O tại ,E F . Chứng minh rằng , ,AD BC EF đồng quy. (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 22. Cho tam giác ABC nội tiếp  O , nội tiếp  I . Gọi M là tiếp điểm của BC và  I , D là giao điểm thứ hai của AM và  O . Chứng minh rằng nếu OI AM thì tứ giác ABDC điều hòa. (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 23. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. ,M N là trung điểm ,AB CD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt đường thẳng CD tại ( )P P N ; đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt đường thẳng AB tại ( )Q Q M . O là giao điểm hai đường chéo ,AC BD ; E là giao điểm của các đường thẳng ,AD BC . Chứng minh rằng , , ,P Q O E thẳng hàng. (Đề thi HSG Vĩnh Phúc) Bài 24. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O . AC cắt BD tại E , AD cắt BC tại F . Trung điểm của CDAB, lần lượt là HG, . Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EGH . (Đề thi chọn đội tuyển THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Bài 25. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không cân và góc A nhọn. Hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh ,AB AC theo thứ tự là ,E F . Gọi D là trung điểm BC ; ,P Q là giao điểm của hai đường tròn đường kính ,AD BC . Chứng minh rằng , ,H P Q thẳng hàng và các đường thẳng , ,BC EF PQ đồng quy. (Đề thi HSG Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 26. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H . ,M N là trung điểm ,AH BC . Các đường phân giác của các góc  ,ABH ACH cắt nhau tại P . Chứng minh rằng: 1.  90BPC   2. , ,M N P thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11, THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình) 8 Bài 27. Cho hai điểm ,A B cố định và  ;O R thay đổi sao cho     , 2 , d A b d B A.

truyện kiếm hiệp audio